Việc đổ bi ra mặt bàn để đếm hay nhặt tất cả các viên bi cho vào hộp rồi đếm có thể coi là các "chiến lược" khác nhau của đứa trẻ để giải quyết vấn đề là "tìm hiểu xem mình có mấy viên bi"!
Bây giờ nếu bỏ thêm một viên nữa. Đứa trẻ cũng sẽ hiểu ngay là nó có 9 viên bi. Dù viên đó được bỏ vào sau khi đã gộp chung 8 viên trước hay cho vào hộp trước khi gộp; hoặc là đặt lên mặt bàn (nơi đã có sẵn 3 viên). Rất đơn giản, khi đó sẽ có:
Bây giờ nếu bỏ thêm một viên nữa. Đứa trẻ cũng sẽ hiểu ngay là nó có 9 viên bi. Dù viên đó được bỏ vào sau khi đã gộp chung 8 viên trước hay cho vào hộp trước khi gộp; hoặc là đặt lên mặt bàn (nơi đã có sẵn 3 viên). Rất đơn giản, khi đó sẽ có:
- 8 viên bi + 1 viên bi = 9 viên bi
- 6 viên bi + 3 viên bi = 9 viên bi
- 5 viên bi + 4 viên bi = 9 viên bi
- 5 viên bi + 3 viên bi + 1 viên bi = 9 viên bi
9 viên bi - sắp xếp cách nào cuối cùng vẫn có 9 viên bi
Nếu kết hợp với các hoán vị nữa sẽ có hàng chục phương án khác nhau, chỉ với các viên bi.
Hình học
Mộ ví dụ khác (trẻ lớn hơn một chút), khi làm quen với tam giác & diện tích tam giác. Việc ghi nhớ công thức tính diện tích tam giác S = 1/2 * h * a không phải là quá khó khăn đối với đứa trẻ. Tuy nhiên cách ghi nhớ khiến cho đứa trẻ không hoàn toàn hiểu bản chất của vấn đề cũng như việc ứng dụng công thức một cách linh hoạt.
Tam giác ABC một nửa của hình bình hành ABCD và cũng là một nửa của hình chữ nhật BCEF
Nếu nhìn vào hình trên đây, đứa trẻ có thể dễ dàng hình dung tam giác ABC như:
- "Cộng" của 2 tam giác ABH và ACH
- "Một nửa" của hình bình hành ABCD
- "Một nửa" của hình chữ nhật BCEF
Và có thể dễ dàng chứng minh những điều trên đây bằng việc cắt một tấm bìa mà không cần ghi nhớ bất cứ công thức nào cả. Cũng từ đó có thể dễ dàng tính ra diện tích tam giác ABC. Rõ ràng thay vì ghi nhớ công thức, việc tự tìm ra công thức thú vị và dễ dàng ghi nhớ hơn nhiều. Quan trọng hơn là, đứa trẻ có thể có những "chiến lược" khác nhau để làm được điều đó!
Những năm gần đây, ở Mỹ bắt đầu ứng dụng một hướng mới trong việc dạy toán cho trẻ em từ lớp 1. Thể hiện qua hệ thống tiêu chuẩn được gọi là "các chuẩn chung cơ bản" (common core standards). Ý tưởng chủ đạo là dạy toán không còn là dạy & luyện các "kỹ năng tính toán" nữa mà chuyển sang các kỹ năng lập chiến lược để giải quyết vấn đề. Tư tưởng này đã được triển khai tại California và 44 bang khác.
Tất nhiên họ cũng gặp những khó khăn, đặc biệt là việc thay đổi cách nghĩ của giáo viên. Rất nhiều người nghĩ rằng toán học trong trường tiểu học là tính toán & ghi nhớ. Việc ghi nhớ chưa bao giờ là cách tốt nhất để học toán, nhưng nó lại rất thường gặp trong các tiêu chuẩn đang phổ biến, từ sách giáo khoa, bài tập cho đến việc thi cử và giảng dạy.
Vậy điều gì là khác nhau từ phía học sinh nếu được học theo tư duy truyền thống và tư duy chiến lược tìm giải pháp? Xét ví dụ về bài toán sau đây: tìm diện tích hình bình hành ABCD như hình vẽ, biết cạnh AB = 4 cm và cạnh BC = 7 cm.
Bài toán tìm diện tích hình bình hành ABCD; AB = 4 cm; BC = 6 cm
Theo phương pháp tính toán & ghi nhớ, học sinh sẽ coi đây là một hình vẽ thuần tuý, và các câu trả lời có thể sẽ là:
Bài toán tìm diện tích hình bình hành ABCD; AB = 4 cm; BC = 6 cm
Theo phương pháp tính toán & ghi nhớ, học sinh sẽ coi đây là một hình vẽ thuần tuý, và các câu trả lời có thể sẽ là:
- Bài toán thiếu dữ liệu, không giải được
- Bài toán tổng quát, đáp án: 0 cm2 -> 28 cm2
Còn nếu theo phương pháp tư duy chiến lược tìm giải pháp cho vấn đề, học sinh sẽ cho đây là một miếng gỗ, hay miếng bìa có dạng hình bình hành như trong hình vẽ. Vấn đề đặt ra là: phải tìm diện tích của nó. Và có thể thiết lập các chiến lược khác nhau để giải quyết vấn đề đó:
- Cắt nó ra, đặt lại thành hình chữ nhật, đo cạnh rồi tính
- Đo góc ABC xem nó bằng bao nhiêu? (trường hợp này là ~ 66°)
Và nói chung sẽ tìm ra kết quả là diện tích của hình chữ nhật dù là công thức chính xác: S = 4 x 7 x sin(α) cho trường hợp tổng quát hay một số gần đúng: S ~ 25.41 (cm2) cho trường hợp cụ thể như hình vẽ. Không thể nói cách nào là "đúng" hơn, nhưng rõ ràng hướng thứ 2 thú vị và học sinh có khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn cao hơn.
Các chiến lược khác nhau để tìm diện tích hình bình hành ABCD
Cũng như vậy, trong trò chơi được thiết kế để làm quen các con số "Numbers Making" . Để tạo lên một tổng là 10 hay 16, 17,... mỗi người đều có thể thiết lập các chiến lược khác nhau. Chỉ khi có chiến lược tốt người chơi mới có thể đạt đến những levels cao trong giới hạn thời gian rất nhỏ (5s).
Trò chơi yêu cầu người sử dụng chọn các số để lập tổng là số cho trước bắt đầu từ 10, sau mỗi lần đúng sẽ tăng lên 1 đơn vị trong khoảng thời gian giảm dần từ 15s đến 5s. Những level đầu thời gian dài nên chiến lược chưa quan trọng. Nhưng khi lên đến levels 11 trở đi, thời gian chỉ còn 5s. Tổng cần lập lại lớn hơn (từ 20 trở lên). Vấn đề trở thành khó khăn hơn nhiều. Vì vậy để đạt được đến levels cao (điểm cao), đòi hỏi người chơi phải thiết lập các chiến lược phù hợp.
Ví dụ: muốn tạo tổng 27 người chơi có thể có chiến lược chọn số lớn trước, chỉ sau đó mới chọn số nhỏ hơn. Đấy là một chiến lược. Khi thực hiện có thể có các phương án như sau:
- 9 + 9 + 9 = 27
- 9 + 9 + 8 + 1 = 27
- 9 + 9 + 7 + 2 = 27
- 9 + 8 + 8 + 2 = 27
- ....
Không đơn thuần là lựa chọn chiến lược, việc triển khai chiến lược theo tình huống & điều kiện cụ thể cũng là một thách thức khó & hấp dẫn.
